durée d’une obligation à coupon zéro

durée d'une obligation à coupon zéro

Risque de taux d'intérêt II. Règles de durée Règle 1: Obligations à coupon zéro Quelle est la durée d'une obligation à coupon zéro? L'argent est reçu à la fois t = poids à l'échéance.

Publié parUrsula Hodge Modifié depuis plus de 2 ans

Présentation au sujet: "Risque de taux d'intérêt II Règles de duration Règle 1: Obligations à coupon zéro Quelle est la duration d'une obligation à coupon zéro? L'encaisse est reçue à la fois t = poids à l'échéance."

1 Risque de taux d'intérêt II

2 Règles de durée Règle 1: Obligations à coupon zéro Quelle est la durée d'une obligation à coupon zéro? L'encaisse est reçue en une seule fois t = poids à l'échéance = 1 La durée d'une obligation à coupon zéro correspond donc exactement à la durée à laquelle nous avons défini «une période» (habituellement six mois)

3 Règles de durée Règle 2: Taux de coupons Les coupons en début de vie réduisent le délai moyen d'obtention des paiements. Les pondérations sur les «périodes» précoces sont plus élevées. Durée de conservation jusqu'à échéance, la durée d'une obligation est plus faible lorsque le taux du coupon est plus élevé.

4 Règles de durée Règle 3: Délai jusqu'à l'échéance En maintenant le taux de coupon constant, la durée d'une obligation augmente généralement avec le temps jusqu'à l'échéance. - Si le rendement est outrageusement élevé, la maturité plus élevée diminue la durée. - Règle 4: Rendement à l'échéance Pour les obligations à coupons, à mesure que YTM augmente, la duration diminue. Règle 5: La durée d'un niveau perpétuité est (1 + y) / y

5 Durée modifiée d'un portefeuille Les banques détiennent plusieurs actifs dans leurs bilans. Soit v i la fraction de l'actif total PV attribuée à l'actif i. Supposons que la banque possède 3 actifs Durée de l'actif total:

6 Exemple d'actifs bancaires: - Actif 1: PV = 8 M $ * = 12,5 - Actif 2: PV = 38 M $ * = 18,0 - Actif 3: PV = 2 M $ * = 1,75 PV total = 48 M $ - v 1 = 8/48 = 0,17, v 2 = 38/48 = 0,79v 3 = 2/48 = 0,04 Durée de vie modifiée du portefeuille: D * = (0,17) (12,5) + (0,79) (18) + (0,04) (1,75) = 16,42

Pour les obligations à coupon zéro: - YTM = rendement annuel effectif Pour les obligations annuelles: - Rendement annuel effectif = YTM en supposant que nous pouvons réinvestir tous les coupons au taux du coupon Pour les obligations semestrielles - Rendement effectif sur six mois = YTM / 2 en supposant que nous peut réinvestir tous les coupons au taux du coupon

8 Rendement annuel effectif d'un portefeuille Exemple: Valeur du portefeuille: 110 $ Obligation annuelle 1: PV = 65 $, AER = 5% Obligation annuelle 2: PV = 45 $, AER = 3% Quel est le rendement effectif du portefeuille? (get / pay-1) Get = 65 * 1,05 + 45 * 1,03 = 114,6 Pay = 110 Retour = 114,6 / 110-1 = 4,18% Mais (65/110) *. 05+ (45/110) *. 03 = 4,18% Bottom line: l'EAR d'un portefeuille est la somme pondérée des EAR des actifs individuels du portefeuille lorsque les poids sont la fraction de chaque actif de la valeur totale du portefeuille.

9 Retour à la création d'une banque Extrait de l'exemple précédent (Building a Bank) Actifs: D * = 23.02, PV = 100M (YTM = 1.8%) Passif: D * = 0.99, PV = 75M (YTM = 1%) Fonds propres: 25M Actuellement une augmentation des taux de 10 pb entraîne:  A = -23.02 * .001 * 100M = -2.30M  L = -0.99 * .001 * 75M = -0.074M  E = -2.30M - (- 0.074M) = - 2,23 M (baisse de 8,8%)

10 Construire une banque Supposons que vous souhaitiez une augmentation des taux de 10 points de base pour que les capitaux propres ne diminuent que de 4% (1M). Options: A: Maintenir D * des actifs constant et augmenter D * des passifs B: Maintenir D * des passifs constants et inférieurs D * actifs C: Augmenter D * des passifs et D * inférieur des actifs

11 Constitution d'une banque: Option A Maintenir D * des actifs à 23,02 Pour tout D * de passif donné, une augmentation des taux de 10 pb entraînera la variation des capitaux propres de la façon suivante:  E = -2,30 M- (-D * 75 M * .001 Étant donné que vous voulez une augmentation de 10 pb des taux pour faire baisser les capitaux propres de 1M: -1M = -2.30M- (-D * 75M * .001) Résolvez pour D * D * = 17.333

12 Construire une banque: Option A Comment obtenir D * des passifs à 17,33? Émettre une liaison ou un CD d'une durée supérieure à 17.33. Exemple: Émettre une obligation zéro coupon à échéance de 25 ans. Supposons que YTM = 1,5%. - Durée = 25 - D * = 25 / 1,015 = 24,63 Combien devriez-vous émettre?

13 Construire une banque: Option A Vous voulez que le D * de votre «portefeuille de passif» soit 17.33. Soit v = fraction du portefeuille de responsabilité dans l'obligation à coupon zéro de 25 ans. Le reste de vos dettes proviendra de dépôts à court terme. 17.33 = v (24.63) + (1-v) (0.99) résoudre pour v v = .6912

14 Construire une banque: Option A Donc, faites l'obligation de 25 ans 69,12% de votre portefeuille de responsabilité. Total des passifs = 75M Édition 6912 * 75M = 51,84M $ en obligations à coupon zéro de 25 ans avec D * = 24,63 Accroître 23,16M $ en dépôts à court terme avec D * = 0,99

15 Construction d'une banque: Option A Vérification de l'approximation: Passifs: - 51,84 en obligations à coupon zéro de 25 ans (YTM = 0,015) - 23,16 en dépôts (YTM = 0,01) Nous utilisons l'approximation de la durée pour fixer la cible. Comment savons-nous si l'approximation fonctionne? Trouvons la variation exacte des capitaux propres pour une augmentation des taux de 10 pb. Premièrement, nous devons trouver des valeurs futures

16 Construction d'une banque: Option A Valeur future des passifs: - 51,84 obligations à coupon zéro de 25 ans (YTM = 0,015) Valeur future à l'échéance (valeur nominale) = 51,84 * (1,015) ^ 25 = 75,22 - 23,16M dans les dépôts ( YTM = 0,01) Valeur future à l'expiration = 23,16 * 1,01 = 23,39 Valeur actuelle si les taux augmentent de 10 pb: - Obligations à coupon zéro: 75,22 / 1,016 ^ 25 = 50,58 - Dépôts: 23,39 / 1,011 = 23,14 Variation de la VA des passifs si les taux augmentent de 10 pb: (50.58M + 23.14) - 75M = -1.28M

17 Construire une banque: Option A Nous savons (diapositives mercredi dernier) que si les taux augmentent de 10pb, les actifs chuteront exactement de 2,27M (PV des obligations passe de 100M à 97,73M) Changement des fonds propres, compte tenu d'une hausse des taux de 10pb, sera-2.27M - (- 1.28M) = -0.99M Notre objectif était de le faire tomber de 1M. Nous sommes donc très proches.

18 Construire une banque: Option A En abandonnant les dépôts à court terme, nous avons réduit le risque de taux d'intérêt. Coût (avant les variations de taux): Avant ajustement du bilan: - Passif (75M) YTM = 1% - Actif (100M) YTM = 1.8% - Bénéfice = 1.8M - .75M = 1.05M Après adaptation du bilan - Passif : 0.6912 * .015 + 0.3088 * .01 = 1.3% - Actif (100M) YTM = 1.8% - Bénéfices = 1.8M-1.3M = 0.50M

19 Bâtir une banque: Option B Maintenir D * du passif à 0,99 Pour tout D * donné d'actifs, une augmentation de 10 pb des taux entraînera la variation des capitaux propres comme suit:  E = -D * 100M * .001 - (- 0,074M ) Étant donné que vous voulez une augmentation de 10 pb des taux pour faire tomber les capitaux propres de seulement 1M: -1 = -D * 100 * .001 - (- 0.074) résoudre pour D * D * = 10.74

20 Construire une banque: Option B Comment obtenir D * des passifs à 10.74? Acheter une duration d'obligation inférieure à 10,74 Exemple: obligation zéro coupon à échéance dans 5 ans. Supposons que YTM = 1,2%. - Durée = 5 - D * = 5 / 1.012 = 4.94 Combien devriez-vous acheter?

21 Construire une Banque: Option B Vous voulez que le D * de votre portefeuille d'actifs soit 10.74. Soit v = fraction du portefeuille d'actifs dans l'obligation à coupon zéro de 5 ans (D * = 4,94). Le reste de vos actifs sera dans les obligations à coupon de 30 ans (D * = 23,02). 10.74 = v (4.94) + (1-v) (23.02) résoudre pour v v = 0.679

22 Bâtir une banque: Option B Donc, faites le 5 ans zéro 67,9% de vos actifs Total des actifs = 100M Acheter.679 * 100M = 67,9M $ en zéros à 5 ans Acheter 32,1M $ en obligations à coupon de 30 ans

23 Construction d'une banque: Option B Vérification de l'effet: Actif: - 67,9 obligations à coupon zéro de 5 ans (YTM = 0,012) - 32,1 millions d'obligations à coupons à 30 ans (YTM = 0,018) Nous voulons voir comment la VA de ces actifs changent lorsque nous observons un changement parallèle de la courbe des rendements. Pour ce faire, nous devons trouver des valeurs futures.

24 Construction d'une banque: Option B Valeur future de l'actif: - 67,9 obligations à coupon zéro de 5 ans (YTM = 0,012) Valeur future à l'expiration (valeur nominale) = 67,9 * (1,012) ^ 5 = 72,07 - 32,1 à 30 ans obligations (YTM = 0,018, taux de coupon = 0,18) Valeur future à l'expiration (valeur nominale) = 32,1 Valeur actuelle si les taux augmentent de 10 pb: - 5 ans: 72,07 / 1,013 ^ 5 = 67,56 - 30 ans: N = 30 , FV = 32,1, pmt = 0,018 * 32,1, ytm = 0,019 PV = 31,37 Variation de la VA des actifs si les taux augmentent de 10 pb: (67,56 + 31,37) - 100 = -1,07 (millions)

25 Construction d'une banque: Option B Nous savons (de la classe Mercredi dernier) que si les taux augmentent de 10pb, le passif chutera exactement de 0.074M. Compte tenu de la nouvelle structure des actifs, avec une hausse de 10pb, les fonds propres changeront comme suit: -1,07 M - (- 0,074 M) = -0,996 M Notre objectif était de le faire tomber de 1M. Nous sommes donc très proches.

26 Construire une banque: Option B En abandonnant les dépôts à court terme, nous avons réduit le risque de taux d'intérêt. Coût (avant les variations de taux): Avant ajustement du bilan: - Passif (75M) YTM = 1% - Actif (100M) YTM = 1.8% - Bénéfice = 1.8M - .75M = 1.05M Après adaptation du bilan - Passif (75M) YTM = 1% - Actifs (100M) YTM = .679 * .012 + .321 * .018 = 1.4% - Bénéfices = 1.4M-.75M = 0.65M

27 Faits importants Nous ne sommes couverts qu'à l'heure actuelle. À mesure que le temps change et que les rendements changent, les durées modifiées changent. Nécessité de rééquilibrer périodiquement le portefeuille de couverture, même si les rendements restent constants, ou la couverture deviendra inutile.

28 Construction d'une banque: option C Vous pouvez choisir plusieurs combinaisons différentes des durées modifiées d'actifs et de passifs pour atteindre le même objectif. Diapositive suivante: Les combinaisons possibles

29 Construction d'une banque: Option C D * de l'actif = 23,02 D * du passif = 17,33 D * de l'actif = 10,74 D * du passif = 0,99

30 Durée L'utilisation de la durée seule peut introduire une erreur d'approximation. La correspondance de durée fonctionne le mieux pour de petites variations de rendement. La durée nous permet de faire correspondre la pente de la courbe des prix à un point donné. Lorsque vous vous éloignez de ce point, la pente va changer - la source de l'erreur d'approximation.

32 La convexité La convexité est une mesure de la vitesse à laquelle la pente change à un point donné. Pas très convexe. Plus convexe.

33 Convexity Les investisseurs obligataires aiment la convexité - Lorsque les rendements baissent, les prix des obligations plus convexes augmentent davantage. - Lorsque les rendements montent, les prix des obligations avec plus de convexité chutent moins Plus un lien est convexe, plus l'approximation de la durée fera l'affaire. - Possibilité d'incorporer la convexité dans l'analyse ci-dessus.

34 Annexe: Durée modifiée d'un portefeuille

35 Annexe Durée d'un portefeuille modifiée (suite)

36 Annexe Durée d'un portefeuille modifiée (suite)

37 Annexe Durée modifiée d'un portefeuille (suite)

Comment puis-je calculer la duration de Macaulay d'une obligation à coupon zéro dans Excel?

La duration de Macaulay résultante d'une obligation à coupon zéro est égale à la durée jusqu'à l'échéance de l'obligation. Une obligation à coupon zéro est un type de titre à revenu fixe qui ne paie pas d'intérêt sur le capital. Toutefois, pour compenser l'absence de paiement de coupon, une obligation à coupon zéro se négocie généralement à un escompte, et les traders et les investisseurs peuvent en tirer profit à sa date d'échéance, lorsque l'obligation est remboursée à sa valeur nominale.

La duration de Macaulay est calculée en additionnant le paiement du coupon par période multiplié par le délai jusqu'à l'échéance divisé par 1 plus le rendement par période augmentée jusqu'à l'échéance. Ensuite, la valeur résultante est ajoutée au nombre total de périodes multiplié par la valeur nominale de l'obligation divisée par 1 plus le rendement par période majoré au nombre total de périodes. La valeur résultante est divisée par le prix courant des obligations.

Par exemple, supposons que vous détenez une obligation à coupon zéro de deux ans d'une valeur nominale de 10 000 $ et un rendement de 5%, et que vous voulez calculer la durée sur Excel. Dans les colonnes A et B, cliquez avec le bouton droit sur les colonnes et sélectionnez Largeur de colonne. et changez la valeur à 30 pour les deux colonnes. Ensuite, entrez "Par Valeur", "Rendement", "Taux de Coupon", "Délai de maturité" et "Durée Macaulay" dans les cellules A2 à A6.

Dans les cellules B2 à B5, entrez "= 10000", "= 0.05", "= 0" et "= 2", respectivement. Dans la cellule B6, entrez la formule "= (B4 + (B5 * B2) / (1 + B3) ^ 1) / ((B4 + B2) / (1 + B3) ^ 1)". Puisqu'une obligation à coupon zéro n'a qu'un seul flux de trésorerie et ne paie aucun coupon, la durée de Macaulay qui en résulte est de 2.

Durée d'une obligation à coupon zéro

Quelqu'un peut-il s'il vous plaît aidez-moi avec la question ci-dessous avec une brève explication: -

Une obligation à coupon zéro de 10 ans est rachetable annuellement au pair (sa valeur nominale) à compter du début de l'année 6. Supposons une courbe de rendement uniforme de 10%. Quelle est la durée de l'obligation? A- 10 ans B- 5 ans C- 7,5 ans D- Ne peut être déterminé sur la base des données fournies.

Selon moi, il devrait être de 10 ans, car la durée d'une obligation à coupon zéro est toujours égale à sa maturité. Mais je ne suis pas convaincu avec ma réponse à cause de la caractéristique appelable dans la question. Quelqu'un peut-il m'expliquer dans le contexte de la caractéristique appelable sur l'obligation à coupon zéro?

L'obligation à coupon zéro (également appelée obligation à escompte ou obligation à escompte pur) est une obligation qui ne paie aucun coupon pendant sa vie. Il est émis avec une décote significative par rapport à sa valeur nominale et son rendement total résulte de la différence entre sa valeur nominale et le prix d'émission. La valeur d'une obligation à coupon zéro est égale à la valeur actuelle de sa valeur nominale qui augmente à mesure que l'obligation atteint sa maturité. Une obligation à coupon zéro est également appelée un zéro.

L'obligation à coupon zéro diffère d'une obligation traditionnelle par les moyens suivants:

  • Une obligation ordinaire paie des paiements périodiques de coupon tandis qu'une obligation à coupon zéro ne paie pas de flux de trésorerie périodiques;
  • Le rendement d'une obligation traditionnelle résulte à la fois des paiements d'intérêts et des mouvements de prix, tandis que le rendement total d'une obligation à coupon zéro résulte de la différence entre le prix d'émission et la valeur de maturité;
  • Une obligation à coupon zéro n'a aucun risque de réinvestissement alors qu'une obligation traditionnelle comporte un risque de réinvestissement important;
  • Une obligation zéro-cooupon présente un risque de taux d'intérêt plus élevé qu'une obligation traditionnelle.

Parfois, les obligations normales donnant droit à des coupons sont décomposées en composantes principale et coupon, de sorte que chaque paiement est une obligation à coupon en soi. De tels composants à coupon zéro sont appelés bandes.

Parce qu'une obligation à coupon zéro n'a qu'un seul flux de trésorerie qui survient au moment de l'échéance de l'obligation, son prix / valeur est égale à la valeur actuelle de ce flux de trésorerie actualisée au taux de rendement requis.

La formule suivante peut être utilisée pour calculer la valeur d'une obligation à coupon zéro

FV représente la valeur nominale de la liaison, rendement représente le taux de rendement annuel requis compte tenu du risque inhérent à l'obligation, m est le nombre de périodes de composition par an et n est le nombre total d'années jusqu'à la maturité.

Compte tenu du prix actuel (ou du prix d'émission) d'une obligation à coupon zéro (notée P), sa valeur nominale (aussi appelée valeur à l'échéance) de FV et des années jusqu'à l'échéance n, nous pouvons trouver son rendement annualisé à l'échéance en utilisant l'équation suivante:

$$ Rendement \ sur \ Zéro-Coupon \ Bond = \ left (\ frac

\ right) ^ \ frac<1>-1 $$

Le 1er janvier 2013, Andrews a investi 50 000 $ dans 100 obligations à coupon zéro de valeur nominale de 1 000 $ émises par Stonehenge Travel Plc. Les obligations ont été émises avec un rendement de 7,18%. Le rendement prévu des obligations au 31 décembre 2013 est de 6,8%. Trouvez la valeur de l'obligation à coupon zéro au 31 décembre 2013 et Andrews attend des revenus pour l'exercice 2013 des obligations.

Valeur de l'obligation à coupon zéro au 31 décembre 2013 = 1 000 USD (1 + 6,8%) 9 = 553,17 USD

Valeur de la participation totale d'Andrews = 100 × 553,17 $ = 55 317 $

Revenu cumulé attendu = valeur à la fin d'une période - valeur au début d'une période = 55 317 $ - 50 000 $ = 5 317 $

Ce gain de 5 317 $ est constitué de la désactualisation (l'augmentation de la valeur actuelle à l'échéance) et de la partie «gain en capital» résultant de l'évolution positive du rendement du marché sur l'obligation.

La valeur des obligations à coupon zéro continuera d'augmenter jusqu'à atteindre 100 000 $ au moment de leur échéance. Le montant total des intérêts gagnés par Andrews serait de 50 000 $ (100 000 $ moins 50 000 $).

Durée d'une obligation à coupon zéro

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